有一个很有意思的文件，bsdftest.cpp
其实这就是我一直想实现的白炉测试了。 (uniform incoming radiance: 1.0)
BRDF能量守恒
\[ \int_{\Omega} f(\omega_i, \omega_o) \cos(\omega_i,n) d\omega_i <= 1.0 \]
Lambert BRDF
当\(\rho = 1.0\)时候，这个BRDF是完全不会丢失能量的。
强弱白炉测试
原始论文见: https://www.jcgt.org/published/0003/02/03/paper.pdf
C++实现见: https://github.com/knarkowicz/FurnaceTest/blob/master/main.cpp
要看懂这个文件，首先要看懂 几何遮蔽函数。 我们在实时渲染里写的那个只是个简化的方案。
PBRT给了一个比较正常的公式 https://www.pbr-book.org/3ed-2018/Reflection_Models/Microfacet_Models#MaskingandShadowing
另外白炉测试的时候:
- 假设光照来自各个方向的光照是均匀的 1\(sr\)
- 如果有菲涅尔，假设菲涅尔的值为恒定的1.0
强白炉测试
\[ \int_{\Omega} \frac{G(\omega_i, \omega_o,n) D(n,h,a)}{4 |n \cdot \omega_o|} d\omega_i = 1.0 \]
这里经过重要性采样，D项可以被彻底消掉
推导过程可以见法线分布函数ndf
弱白炉测试
几何遮蔽可以分为两部分 : 光源方向进来的遮蔽，和经过反弹以后的光线被遮蔽，无法到达观察方向。
弱白炉测试就是不考虑光源方向进来的遮蔽，只考虑反射后的遮蔽。
弱白炉测试的公式
\[ \int_{\Omega} \frac{G_1(\omega_o, n) D(n,h,a)}{4 |n \cdot \omega_o|} d\omega_i = 1.0 \]
对比这两个函数的区别
float WeakWhiteFurnaceTest(float roughness, float ndotv)
{
...
for (unsigned i = 0; i < sampleNum; ++i)
{
...
float const g1 = SmithG1(roughness, ndotv); // 注意这一行,若白炉测试不考虑光源方向的遮蔽
float const pdf = 4.0f * vdoth / ndoth;
integral += (g1 * pdf) / (4.0f * ndotv);
}
integral /= sampleNum;
return Saturate(integral);
}
float WhiteFurnaceTest(float roughness, float ndotv)
{
...
for (unsigned i = 0; i < sampleNum; ++i)
{
...
float const g = SmithG(roughness, ndotv, ndotl); // 以及这一行
float const pdf = 4.0f * vdoth / ndoth;
integral += (g * pdf) / (4.0f * ndotv);
}
integral /= sampleNum;
return Saturate(integral);
}
PBRT3的BRDF测试
弱白炉测试
位置在bsdftest.cpp里，测试光源在正上方直射的情况下，BRDF的积分值。
更接近于弱白炉测试。
因为ndotv始终等于1.
// facing directly at normal
Vector3f woL = Normalize(Vector3f(0, 0, 1));
Vector3f wo = bsdf->LocalToWorld(woL);
// was bsdf->dgShading.nn
const Normal3f n = Normal3f(bsdf->LocalToWorld(Vector3f(0, 0, 1)));
// for each method of generating samples over the hemisphere
for (int gen = 0; gen < numGenerators; gen++) {
...
重要性采样测试
对 \( \int_{\Omega^+} 1 d{w}\) 这个积分进行了验证，拆成MC形式应该是
\[ \sum_{0}^{N} \frac{1}{pdf(w_i)} * \frac{1}{N}\]
这个式子的结果应该是 2Pi。
更准确的说，给定一个BRDF 的一个方向 wo，对 BRDF 重要性采样生成的方向 wi，其半球积分值应该接近于2Pi，否则说明重要性采样写的有问题。
Vector3f woL = Normalize(Vector3f(0, 0, 1));
Vector3f wo = bsdf->LocalToWorld(woL);
// was bsdf->dgShading.nn
const Normal3f n = Normal3f(bsdf->LocalToWorld(Vector3f(0, 0, 1)));
for (int sample = 0; sample < estimates; sample++) {
Vector3f wi;
Float pdf;
Spectrum f;
// sample hemisphere around bsdf, wo is fixed
(SampleFuncArray[gen])(bsdf, wo, &wi, &pdf, &f);
// 统计半球积分值
histogram[histoCosTheta][histoPhi] += 1.0 / pdf;
}
...
可以看 对Lambert BRDF 做的测试结果
*** BRDF: 'Lambertian', Samples: 'Cos Hemisphere'
wi histogram showing the relative weight in each bin
all entries should be close to 2pi = 6.28319:
(0 bad samples, 0 outside samples)
phi bins
cos(theta) bin 00: 6.41 6.16 6.27 6.18 6.27 6.29 6.32 5.95 6.13 6.24
cos(theta) bin 01: 6.25 6.21 6.33 6.24 6.31 6.32 6.27 6.31 6.27 6.32
cos(theta) bin 02: 6.26 6.28 6.32 6.27 6.32 6.27 6.22 6.30 6.27 6.22
cos(theta) bin 03: 6.31 6.30 6.31 6.31 6.27 6.31 6.28 6.31 6.29 6.26
cos(theta) bin 04: 6.32 6.25 6.31 6.30 6.24 6.31 6.25 6.25 6.30 6.26
cos(theta) bin 05: 6.28 6.29 6.26 6.28 6.27 6.27 6.28 6.26 6.28 6.29
cos(theta) bin 06: 6.30 6.26 6.27 6.28 6.26 6.28 6.29 6.28 6.29 6.27
cos(theta) bin 07: 6.27 6.28 6.28 6.27 6.28 6.30 6.28 6.27 6.30 6.28
cos(theta) bin 08: 6.27 6.30 6.30 6.28 6.28 6.31 6.27 6.28 6.29 6.29
cos(theta) bin 09: 6.26 6.29 6.30 6.31 6.27 6.28 6.28 6.30 6.29 6.32
final average : 6.27657 (error -0.00661)
radiance = 1.00000
- 每个bin的值都接近于2Pi,说明重要性采样的 pdf 没啥问题
- radiance = 1.0，说明没有能量损失
卡方检验
Nori 和 PBRT 里其实都有这个的实现，关键词ChisquareTest / Chi2Test，但是我概率论已经全还给老师了，看不懂了。